w19

Pokrewne

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.��Wykład 19Geometria analityczna cd.Równanie płaszczyzny-�!Niech P0(x0, y0, z0) będzie punktem w przestrzeni i niech n = [A, B, C] bę-dzie dowolnym wektorem.Wtedy płaszczyznę określamy jako zbiór wszyst--�!-kich punktów Q(x, y, z) takich, że wektor P0Q jest prostopadły do wekto--�!ra n.Z tego określenia płaszczyzny możemy wyprowadzić równanie ogólne-�!-płaszczyzny.Ponieważ wektor P0Q = [x - x0, y - y0, z - z0] jest prostopadły-�!do n = [A, B, C] to mamy:[x - x0, y - y0, z - z0] �% [A, B, C] = 0stąd mamy:A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0jeśli przyjmiemy D = -Ax0 - By0 - Cz0 to dostajemy równanie:Ax + By + Cz + D = 0wektor o współrzędnych [A, B, C] jest prostopadły do płaszczyzny.Wektorten nazywamy wektorem normalnym płaszczyzny.Zadanie Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty P1(1, -1, 2),P2(2, 2, 0), P3(1, -2, 3).Rozwiązanie Aby wyznaczyć równanie płaszczyzny trzeba wyznaczyć wek-tor normalny do płaszczyzny.Można zauważyć, że wektor ten jest prostopa-- �! - �!- -dły do wektorów P1P2 i P1P3 zatem możemy przyjąć:- �! - �!- --�!n = P1P2 � P1P3Stąd łatwo już otrzymać równanie płaszczyzny.Odległość punktu od płaszczyznyNiech Ax+By+Cz +D = 0 będzie dowolną płaszczyzną i niech P0(x0, y0, z0)będzie dowolnym punktem.Wtedy odległość d tego punktu od płaszczyznywyraża się wzorem:|Ax0 + By0 + Cz0 + D|"d =A2 + B2 + C2Wzajemne położenie dwóch płaszczyznWzajemne położenie dwóch płaszczyzn:A1x + B1y + C1z + D1 = 0A2x + B2y + C2z + D2 = 01badając wzajemne położenie wektorów normalnych.Płaszczyzny te są równoległe wtedy i tylko wtedy gdy wektory normalne[A1, B1, C1] i [A2, B2, C2] czyliA1 B1 C1= =A2 B2 C2Płaszczyzny pokrywają się gdy:A1 B1 C1 D1= = =A2 B2 C2 D2wynika to bezpośrednio z twierdzenia Kroneckera-Capellego.Jeśli wektory normalne do płaszczyzn nie są równoległe to płaszczyzny prze-cinają się wzdłuż prostej:A1x + B1y + C1z + D1 = 0A2x + B2y + C2z + D2 = 0takie przedstawienie prostej w przestrzeni nazywamy równaniem krawę-dziowym prostej.Pęk płaszczyznJeśli prosta l jest dana w postaci krawędziowej:A1x + B1y + C1z + D1 = 0A2x + B2y + C2z + D2 = 0to:�(A1x + B1y + C1z + D1) + �(A2x + B2y + C2z + D2) = 0dla różnych wartości parametrów � i � przedstawia zbiór płaszczyzn prze-chodzących przez prostą l, zbiór ten nazywamy pękiem płaszczyzn wyzna-czonych przez prostą l.Zadanie Znalezć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P (3, 2, 1)i zawierającej prostą:x + 2y - 3z + 4 = 0x - 3y + 2z - 1 = 0Równanie parametryczne prostejProstą będziemy tutaj przedstawiać w następujący sposób.Wybieramywektor a = [x , ya, za] i punkt P (x0, y0, z0).Zbiór punktów Q(x, y, z) takich,-�!a -�!że wektor P Q jest równoległy do a tworzy prostą w przystrzeni.Wektor P Qma współrzędne (x - x0, y - y0, z - z0), a prosta ma wzór:x - x0 y - y0 z - z0= =xa ya za2Równanie to nazywamy równaniem kierunkowym prostej, a wektor a nazy-wamy wektorem kierunkowym.Jeśli wprowadzimy dodatkowo parametr t,taki że:x - x0 y - y0 z - z0= = = txa ya zai wyznaczymy x, y, z to otrzymamy następujący układ równań:�� x = x0 + xat��y = y0 + yat��ó�z = z0 + zatUkład ten określa zbiór punktów leżących na prostej, dla różnych wartościparametru t otrzymujemy różne punkty leżące na prostej.Takie przedstawie-nie prostej nazywamy równaniem parametrycznym prostej.Warto zauważyć,że równanie parametryczne zawiera w swoim wzorze współrzędne punktuprzez który ta prosta przechodzi oraz współrzędne wektora kierunkowego tejprostej.Przykład Zapisać w postaci parametrycznej prostą:x + 2y - 3z + 1 = 02x + y + 3z - 4 = 0Przykład Wyznaczyć odległość punktu P (1, 2, 3) od prostej�� x = 1 + t��y = -1 + 2t��ó�z = 2 + tPrzykład Sprawdzić, czy proste�� x = 1 + t �� - tx = 2�� y = -1 + 2t y = -1 + 2t�� ó� ó�z = 2 + t z = tsą skośne i znalezć odległość między nimi.Powierzchnie stopnia drugiegoPodobnie jak na płaszczyznie można sklasyfikować powierzchnie stopnia2 w przestrzeni.(1) Sfera o środku w punkcie S(x0, y0, z0) i o promieniu R ma równanie:(x - x0)2 + (y - y0)2 + (z - z0)2 = R2,x2 y2 z2(2) Elipsoida + + = 1,a2 b2 c23x2 y2 z2(3) Hiperboloida jednopowłokowa + - = 1,a2 b2 c2x2 y2 z2(4) Hiperboloida dwupowłokowa - - = 1,a2 b2 c2x2 y2(5) Paraboloida eliptyczna + = 2z,a2 b2x2 y2(6) Paraboloida hiperboliczna - = 2z.a2 b2Walce:Walcem lub powierzchnią walcową nazywamy powierzchnię, która jestutworzona przez układ prostych równoległych przecinających pewną krzywąx2 y2 x2 y2np.równania: + = 1, - = 1, y2 = 2px przedstawiają walce wa2 b2 a2 b2przestrzeni.Stożki:Stożkiem lub powierzchnią stożkową nazywamy powierzchnię, która jestutworzona przez układ prostych przechodzących przez ustalony punkt w prze-strzeni i przecinających krzywą.Walcem jest na przykład powierzchnia ox2 y2 z2równaniu: + - = 0.a2 b2 c2Powierzchnie prostokreślnePowierzchnie utworzone przez układy linii nazywamy powierzchniami pro-stokreślnymi.Oczywiście walce i stożki są prostokreślne.Hiperboloida jednopowłokowa i paraboloida hiperboliczna są powierzchniamix2 y2 z2prostokreślnymi.Rzeczywiście równanie + - = 1 można zapisać wa2 b2 c2postaci:x2 z2 y2- = 1 -a2 c2 b2i korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:x z x z y y- + = 1 - 1 +a c a c b bmożemy wprowadzić parametr t i otrzymujemy:x z y x z y 1- = 1 - t, + = 1 -a c b a c b tco dla różnych wartości parametru t daje prostą całkowicie zawartą w po-wierzchni.Powierzchnie obrotoweJeśli powierzchnia jest utworzona przez obrót pewnej krzywej dookołapewnej osi to powierzchnię taką nazywamy powierzchnią obrotową.Na przy-x2 y2kład jeśli elipsę: + = 1 na płaszczyznie xy obrócimy dookoła osi Oy toa2 b24w efecie o trzymamy w przestrzeni elipsoidę obrotową o wzorze:x2 y2 z2+ + = 1a2 b2 a25 [ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

agnieszka90.opx.pl