[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.Przybliżoną wartość pęduotrzymamy po zsumowaniu pędów tych elementów, traktowanych jako punktymaterialne.Z kolei wartość dokładną pędu otrzymamy po wyznaczeniu granicy sumy, gdyliczba elementów dąży do nieskończonościnp =rlim ∑m v =ddv dmmr dm.k→∞kk∫= ∫=∫k=1dtdtmmmCałka występująca w tym wzorze pod znakiem pochodnej jest momentemstatycznym bryły względem początku układu współrzędnych:r dm = m r∫.CmZ uwzględnieniem powyższej zależności otrzymujemy wzór na pęd bryły:dp =(rm r )d C= m= m v.(7.44)CCdtdtWidzimyzatem,że pęd bryły, podobnie jak pęd układu materialnego, jestrówny iloczynowi jej masy i prędkości środka masy.7.2.2.Zasada pędu i popędu.Zasada zachowania pęduRozpatrzymy obecnie układ składający się z n punktów materialnych o masachmk i prędkości vk.Na poszczególne punkty rozpatrywanego układu materialnegodziałają siły zewnętrzne izwewnętrzne.Na rysunku 7.13vkmkzaznaczono siły działające na dwavcPkpunkty o masach mFklk iml.Siłyzewnętrzne działające na tePlCFlkpunkty zastąpiono siłamirkrCwypadkowymi Pmlk i Pl, siłyrwzajemnego oddziaływanialv2między tymi punktami oznaczonoOprzez Fkl i Flk.yWypadkowasił wewnętrznychdziałających na punkt o masie mxknRys.7.13.Siły zewnętrzne i wewnętrzne działająceP=F , (7.45)wk∑na punkty układu materialnegokll=1l≠ka wypadkowa wszystkich sił działających na ten punktFk = Pk + Pwk.(7.46)Zatem zgodnie z drugim prawem Newtona możemy dla dowolnego punkturozważanego układu materialnego napisać dynamiczne równanie ruchu w postaci:d2 rmk = P + P=).(7.47)k2kwk (kn,.,2,1dtPo założeniu, że masa mk jest wielkością stałą, lewą stronę tego równania możemyprzedstawić w postaci pochodnej względem czasu pędu mkvk punktu:d2 rd vdvkk(mk k )m= m=.kdt 2kdtdtRównanie (7.47) można obecnie zapisać następująco:d(m vkk ) = P + P=)(c)kwk (kn,.,2,1.dtJeżeli dodamy stronami n powyższych równań, to otrzymamy:n d(m vkk )∑nn= ∑P + P ,k∑ wkk=1dtk=1k=1a jeżeli zastąpimy sumę pochodnych pędów pochodną ich sumy, tod ∑nnnm v =PP.(d)kk∑ +k∑ kzdt k=1k=1k=1Lewa strona równania (d) jest pochodną względem czasu pędu układumaterialnego:d nd p∑m v =.dtkkk 1=dtPierwsza suma po prawej stronie równania (d) jest wektorem głównym siłzewnętrznych:nW = ∑P ,kk=1a druga sumą wszystkich sił wewnętrznych działających w całym układziematerialnym i zgodnie ze wzorem (3.3) jest równa zeru:nnn∑P = ∑∑F =.0wkklk 1=k 1= l 1=l≠kOstatecznie równanie (d) można zapisać w postaci:d p = W.(7.48)dtRównanie to przedstawia zasadę pędu układu punktów materialnych, którąmożna wypowiedzieć następująco:Pochodnawzględem czasu pędu układu punktów materialnych jest równawektorowi głównemu sił zewnętrznych działających na ten układ.W celu wyznaczenia zmiany pędu układu punktów materialnych w skończonymprzedziale czasu, np.od 0 do t, wywołanej przez siły zewnętrzne działające na tenukład, scałkujmy równanie (7.48) w tym przedziale czasu.Otrzymamy wtedy:p(t)t− p(0) = ∫ Wdt.(7.49)Równanie to nazywamy zasadą pędu i popędu lub prawem zmienności pędu.Przyrostpędu układu materialnego w skończonym przedziale czasu jest równypopędowi wektora głównego sił zewnętrznych działających na ten układ.Całkę z prawej strony równania (7.49) nazywamy popędem wektora głównegolub impulsem wektora głównego [ Pobierz całość w formacie PDF ]
  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • agnieszka90.opx.pl