[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.Zadania z algebryZestaw 31.Sprawdzić, że dany zbiór liczb jest pierścieniem względem zwykłego do-dawania i mnożenia zawężonego do tego zbioru:(a) R;(b) Z;(c) nZ;(d) Z[i] (= {a + bi " : a, b " Z});" "C(e) Z[ (= {a + b " R : a, b " Z});"5] "5 "3 3 3(f) Z[ 2] (= {a + b 2 + c 4 " R : a, b, c " Z});(g) Z[] (= {a0 + a1 + a22 +.+ an-1n-1 " C : ai " Z}, gdzie  jestpierwiastkiem stopnia n z jedynki);2.Niech dla dowolnego przedziału I osi rzeczywistej CI oznacza zbiór wszyst-kich funkcji ciągłych f : I ! R.Sprawdzić, że dany zbiór tworzy pierścieńprzemienny względem dodawania i mnożenia funkcji.Czy pierścień ten majedynkę?(a) C[a,b];(b) {f " C[a,b] : f(a) " Q};(c) {f " C(-",") : "x " R f(-x) = f(x)};(d) {f " C(0,") : "n " N f(n) = 0};(e) {f " C[a,b] : f(a) = f(b)};(g) {f " C(0,") : lim f(x) = 0};x!"3.Niech X będzie niepustym zbiorem i niech 2X oznacza rodzinę podzbiorówzbioru X.Udowodnić, że struktura (2X, , )") jest pierścieniem ( oznaczaróżnicę symetryczną zbiorów).Czy pierścień ten jest przemienny? Czy majedynkę? Czy ma dzielniki zera? Które elementy są odwracalne? W zbiorze2R rozwiązać równanie:A )" X B )" C = Dgdzie A = {2, 4, 5, 6}, B = {4, 5, 6, 7, 8}, C = {1, 5, 8, 9}, D = {2, 4, 6, 7}.4.W zbiorze Z określić działania " i tak aby (Z, ", ) był pierścieniem zjedynką , którego zerem jest liczba 1, a jedynką jest liczba 0.5.Udowodnić, że jeśli P jest niezerowym pierścieniem z jedynką to 0P = 1P.6.Wyznaczyć elementy odwracalne i dzielniki zera pierścienia R Z.1 7.Niech p będzie liczbą pierwszą.Oblicz liczbę dzielników zera i elementówodwracalnych pierścienia Zp Zp oraz pierścienia Zp2.8.Udowodnić, że jeśli element a2 jest dzielnikiem zera to element a też jestdzielnikiem zera.9.Niech a będzie elementem pierścienia z jedynką takim, że a2 = 1P.Wyka-zać, że wtedy elementy 1P - a oraz 1P + a są dzielnikami zera.10.Niech a będzie elementem pierścienia z jedynką takim, że an = 1P.Wykazać, że wtedy element 1P - a jest dzielnikiem zera.11.Niech a będzie elementem pierścienia z jedynką takim, że a2 = 0P.Wy-kazać, że wtedy elementy 1P - a oraz 1P + a są odwracalne.12.Niech a będzie elementem pierścienia z jedynką takim, że an = 0P.Wykazać, że wtedy element 1P - a jest odwracalny.13.Udowodnić, że jeśli element a dziedziny całkowitości P spełnia an = 0Pto a = 0P." " "14.Sprawdzić, że struktura (Q( 5), +, ), gdzie Q( 5) = {a + b 5 : a, b "Q}, a + i są zwykłymi działaniami, jest ciałem.15.Sprawdzić, że zbiór Q2 wraz z działaniami:(a, b) " (c, d) = (a + c, b + d)(a, b) (c, d) = (ac + 5bd, ad + bc)jest ciałem.16.Sprawdzić, że zbiór R wraz z działaniami:a " b = a + b + 1a b = a + b + abjest ciałem.17.Sprawdzić, że zbiór R wraz z działaniem dodawania:"3a " b = a3 + b3oraz zwykłym mnożeniem jest ciałem.Rozwiązać równanie 5x " 7 = 11.2 18.Zbadać, który z ponizszych zbiorów jest podpierścieniem pierścieniaM2(R):a b(a) " M2(R) : a, b, c " R0 ca b(b) " M2(R) : a, c " Q, b " R0 c(c) M2(Q)(d) {T " M2(R) : det T = 0}(e) {T " M2(R) : det T " Q}3 [ Pobierz całość w formacie PDF ]
  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • agnieszka90.opx.pl